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Álgebra A 62
2026
ESCAYOLA
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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA
5.
En cada uno de los siguientes casos, decidir cuáles de los puntos pertenecen al plano $\Pi$:
a) $\Pi=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(0,1,0)+\mu(1,0,0)+(0,0,1), \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\}$.\\
a) $\Pi=\left\{X \in \mathbb{R}^{3}: X=\lambda(0,1,0)+\mu(1,0,0)+(0,0,1), \lambda, \mu \in \mathbb{R}\right\}$.\\
$P_{1}=(1,1,1), P_{2}=(1,1,0), P_{3}=(0,1,1), P_{4}=(a, b, 0), P_{5}=(a, b, 1)$.
Respuesta
Una manera muy fácil de darnos cuenta si un punto pertenece a un plano es teniendo la ecuación implícita de ese plano y chequeando si el punto cumple la ecuación o no 😉
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Entonces, lo primero que voy a hacer es construirme la ecuación implicita del plano $\Pi$
$\Pi: \lambda(0,1,0)+\mu(1,0,0)+(0,0,1)$
Como vimos en las clases, primero obtenemos la normal al plano haciendo el producto vectorial entre $(0,1,0)$ y $(1,0,0)$
$N = (0,1,0) \times (1,0,0) = (0,0,-1)$
Con lo cual, la ecuación implícita empieza a tomar esta forma:
$0 \cdot x + 0 \cdot y - 1 \cdot z = d$
$-z = d$
Para obtener $d$, pedimos que el punto $(0,0,1)$ pertenezca al plano:
$-1 = d$
La ecuación implícita de $\Pi$ es entonces...
$-z = -1$
Que también la podemos escribir de esta forma, es exactamente lo mismo:
$z = 1$
Ahora chequeamos qué puntos del enunciado cumplen la ecuación $z = 1$ ->
➡️ $P_{1}=(1,1,1)$ ✔️ Pertenece al plano
➡️ $P_{2}=(1,1,0)$ ❌ No pertenece al plano
➡️ $P_{3}=(0,1,1)$ ✔️ Pertenece al plano
➡️ $P_{4}=(a, b, 0)$ ❌ No pertenece al plano
➡️ $P_{5}=(a, b, 1)$ ✔️ Pertenece al plano
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